Analyse d'une suite implicite

(Oral Mines-Ponts)
On se donne un réel

{c\in\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{(E) :x\sin x = c\cos x}

, d’inconnue

{x\in\mathbb{R}^{+*}}

Montrer que (E) a une unique solution ${x_n}$ dans chaque ${I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[}$ ( ${n\in\mathbb{N}}$ ).
Développer ${x_{n}}$ à la précision ${\dfrac{1}{n^3}}$ .

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