Récurrences croisées

(Oral Mines-Ponts)
Soient {\alpha ,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On pose {a_{1}=b_{1}=1} puis :{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}

  1. Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
  2. On suppose que {n\mapsto a_{n+1}/a_{n}} est monotone.
    Montrer qu’elle converge et que {b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}

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