Récurrences croisées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{\alpha ,\beta}

dans

{\mathbb{R}^{+*}}

. On pose

{a_{1}=b_{1}=1}

puis :

{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}

Justifier que ${\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }$ .
On suppose que ${n\mapsto a_{n+1}/a_{n}}$ est monotone.
Montrer qu’elle converge et que ${b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}$

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