Limite d’une suite de points fixes

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}, continue et décroissante.
Soit {(r_{n})}, strictement décroissante, de limite {1}.
On pose {f_{n}=r_{n}f} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Montrer que {f,f_n} ont un seul point fixe {I,I_n}.
Étudier la convergence de la suite {\left(I_{n}\right)}.
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