Logique et suites numériques

Exercice 1.
Soit {(u_n)_{n\ge 0}} une suite de nombres réels. Interpréter les propositions suivantes dans le langage courant et écrire leur négation en langage mathématique avec des quantificateurs.

  1. {\exists\,T\in\mathbb{N}^*,\;\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+T}=u_n}
  2. {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n}+u_{n+2}=2u_{n+1}}
  3. {\exists\,p\in\mathbb{N},\;\forall\,n\ge p,\;u_{n}\ge u_{n+1}}
  4. {\forall\,a\in\mathbb{R}^{+*},\exists\, p\in\mathbb{N},\;\forall n\ge p,\;|u_n|\le a}
  5. {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{2n}\lt 0\lt u_{2n+1}}
  6. {\forall\,n\in\mathbb{N},\;\exists\,m\in [[ n+1,n+10]],\;u_m\lt u_n}
  7. {\exists\, \varepsilon>0,\;\exists\,p\in\mathbb{N},\;\forall\,n\ge p,\;\left|{u_{n+1}-u_{n}}\right|\ge \varepsilon}
  8. {\forall \varepsilon\!>\!0,\exists\,p\!\in\!\mathbb{N},\forall m\!\ge\! p,\forall n\!\ge\!p,\left|{u_m-u_n}\right|\!\le\!\varepsilon}
  9. {\forall\, \varepsilon>0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;\exists\,m>n,\;\left|{u_m-u_n}\right|\le \varepsilon}
  10. {\exists a\!\in\!\mathbb{R},\exists p\!\in\!\mathbb{N},\forall n\!\ge\! p,(u_n\!=\!a)\!\vee\!(u_{n+1}\!=\!a)}

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Exercice 2.
Voici des couples de propositions {A} et {B} (où {(u_n)} une suite quelconque de nombres réels).
À chaque fois, dire si {A\Rightarrow B}, ou {B\Rightarrow A}, ou {A\Leftrightarrow B} ou s’il n’y a aucun lien logique.

  1. {(A)} : « {(u_n)_{n\ge0}} devient monotone »
    {(B)} : « la suite {(u_n)_{n\ge0}} est convergente »
  2. Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite positive.
    {(A)} : « {(u_n)_{n\ge0}} devient décroissante »
    {(B)} : « la suite {(u_n)_{n\ge0}} est convergente »
  3. {(A)} : « {\forall\, n\in\mathbb{R},\;u_n\le u_{n+1}} »
    {(B)} : « {\forall\, (n,m)\in\mathbb{N}^2,\;n\le m\Rightarrow u_n\le u_m} »
  4. {(A)} : « {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty} »
    {(B)} : « la suite {(u_n)_{n\ge0}} devient croissante »
  5. {(A)} : « {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0} »
    {(B)} : « la suite {(u_n)_{n\ge0}} est convergente »
  6. {(A)} : « la suite {n\mapsto \exp(u_n)} est convergente »
    {(B)} : « la suite {n\mapsto u_n} est convergente »
  7. {(A)} : « la suite {n\mapsto |u_n|} est convergente »
    {(B)} : « la suite {n\mapsto u_n} est convergente »
  8. {(A)} : « la suite {n\mapsto u_n} est convergente »
    {(B)} : « {n\mapsto \lfloor u_n\rfloor} (partie entière) converge »
  9. Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite d’entiers relatifs.
    {(A)} : « la suite {(u_n)_{n\ge0}} est convergente »
    {(B)} : « la suite {(u_n)_{n\ge0}} est stationnaire »
  10. {(A)} : « la suite {(u_n)_{n\ge0}} est périodique »
    {(B)} : «  {(u_n)_{n\ge0}} n’a qu’un nombre fini de valeurs »

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