Limites de suites monotones

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{k}

un entier supérieur ou égal à

{2}

.
Pour tout

{n\in\mathbb{N}^{*}}

, soit

{u_n=\dfrac 1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\ldots+\dfrac1{kn}}

.
Montrer que la suite

{(u_{n})}

converge (on ne demande pas sa limite).

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Exercice 2.
On considère la suite

{n\mapsto u_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{\ldots+\sqrt n}}}}

.
Montrer que pour tout

{n}

, on a l’inégalité

{u_{n+1}^2\le1+\sqrt2\,u_n}

.
La suite

{(u_n)}

est-elle convergente?

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Exercice 3.
Soit

{(u_n)_{n\ge0}}

une suite bornée telle que :

{\forall\, n\ge1}

{2u_n\le u_{n-1}+u_{n+1}}

.
Montrer que cette suite est convergente.

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Exercice 4.
Soit

{(u_n)}

une suite réelle. On pose

{v_n=\dfrac1n(u_1+u_2+\cdots+u_n)}

Montrer que si ${\displaystyle\lim_\infty u_n=\ell}$ alors ${\displaystyle\lim_\infty v_n=\ell}$ .
Vérifier sur un exemple que la réciproque est fausse.
Montrer que si ${(u_n)}$ est monotone, alors la réciproque est vraie.

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Exercice 5.
Soit

{p_n}

la probabilité d’obtenir exactement

{n}

fois pile en

{2n}

lancers d’une pièce équilibrée. Calculer

{p_n}

et déterminer

{\displaystyle\lim_\infty p_n}

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