Suites harmoniques et logarithme

(Oral Centrale)
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.

  1. Justifier l’écriture {L(n)=\displaystyle\lim_{p\to+\infty}L_{p}(n)}.
  2. Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
  3. Montrer que {n\mapsto L(n)} croît strictement.
  4. Montrer que {L(n)=\ln (n)}.

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