Suites adjacentes

Exercices corrigés


Exercice 1.
Montrer que {n\mapsto u_n= \displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}} et {n\mapsto v_n=u_n+\dfrac1{n(n!)}} sont adjacentes.
Montrer que leur limite commune est irrationnelle.
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Exercice 2.
On se donne {(u_0,v_0)\in\mathbb{R}^2}, {\lambda\ge0} et {\mu\ge0}.
On pose, pour tout {n\in\mathbb{N}} : {u_{n+1}=\dfrac{u_n+\lambda v_n}{1+\lambda},\;v_{n+1}=\dfrac{u_n+\mu v_n}{1+\mu}}Trouver la condition pour que {(u_n)} et {(v_n)} soient adjacentes.
Dans le cas général, ces suites sont-elles convergentes, et vers quelle limite?
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Exercice 3.
Étudier {(u_n),(v_n)} définies par : {\begin{cases}u_0=a>0\\v_0=b>0\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\phantom{\biggl(}\\v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\end{cases}}
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Exercice 4.
On pose {u_0=a\gt0} et {v_0=b\gt0}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose :{\dfrac 2{u_{n+1}}=\dfrac 1{u_n}+\dfrac{1}{v_n}\;\text{et}\;v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2}Montrer que les suites {(u_n)} et {(v_n)} sont adjacentes.
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Exercice 5.
On définit la suite {n\mapsto u_n=1-\dfrac1{1!}+\dfrac1{2!}-\cdots+(-1)^n\dfrac1{n!}}.
Montrer qu’elle converge et que sa limite est un irrationnel.
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