Étude d’une suite récurrente d’ordre 1

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {f\colon ]0,+\infty[\to \mathbb{R},\;x\mapsto x+\ln(x)}.

On définit {(u_n)} par {\begin{cases}u_0>0\\[3pt]\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}}

Question 1
Étudier la suite {(u_n)}, selon les valeurs de {u_0}.
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À partir de maintenant, on suppose {u_0=2}.

On admet l’inégalité, valable pour {x\ge2} : {3(x\!+\!1)\ln(x\!+\!1) \!-\! 3x\ln(x) \!-\! \ln(3x\ln(x)) \!\geq\! 0}

Question 2.a
Montrer que, pour tout {n\ge2} : {2+ n \ln(2) \leq u_n \leq 3 \, n \ln (n)}
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Question 2.b
En déduire un équivalent de {u_n}.
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Pour {x >1} et {a>1}, on pose : {g(a,x)=a(x\!+\!1)\ln(x\!+\!1) \!-\! ax\ln(x)\! -\! \ln(ax\ln(x))}
Question 3.a
Montrer : {\exists\,N \geq 2,\;\forall\, x \geq N, \; g(2 ,x) \geq 0}.
Indication : un équivalent de {g(2,x)} en {+\infty}.
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Question 3.b
Montrer que : {\forall\,x>1,\forall\,a>1,\;\dfrac{\partial g}{\partial a}(a,x) \geq 0}.
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Question 3.c
En déduire que : {\forall\,x \geq N,\;\forall\,a \geq 2,\;g(a,x) \geq 0}.
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Question 4
Déterminer un équivalent de {u_n} quand {u_0>1}.
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