Exercice (oral Centrale/Supélec)
On pose {u_1=a\gt0} et : {\forall\, n \geq 1, \; u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{\sqrt{n}}}.
| Question 1 Conjecturer avec Python comportement de la suite {u} suivant {a} (on pourra s’intéresser aux valeurs de {u_n} pour {1 \leq n \leq 15} quand {1 \leq a \leq 2}). |
| Question 2 On note pour {n \geq 1}, {S_n=\displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{\ln(k)}{2^{k+1}}}. Exprimer {\dfrac{\ln(u_n)}{2^{n-1}}} en fonction de {a} et la suite {(S_n)}. |
| Question 3 Montrer qu’on peut en déduire la limite de {u} sauf pour une valeur {a_0} de {a} (que l’on ne cherchera pas à calculer). |
| Question 4 Déterminer un équivalent du reste {R_n=\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{\ln(k)}{2^{k+1}}}}. Conclure sur la suite {u} lorsque {u_0=a_0}. |