Une récurrence très sensible

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On pose {u_1=a\gt0} et : {\forall\, n \geq 1, \; u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{\sqrt{n}}}.

Question 1
Conjecturer avec Python comportement de la suite {u} suivant {a} (on pourra s’intéresser aux valeurs de {u_n} pour {1 \leq n \leq 15} quand {1 \leq a \leq 2}).
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Question 2
On note pour {n \geq 1}, {S_n=\displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{\ln(k)}{2^{k+1}}}.
Exprimer {\dfrac{\ln(u_n)}{2^{n-1}}} en fonction de {a} et la suite {(S_n)}.
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Question 3
Montrer qu’on peut en déduire la limite de {u} sauf pour une valeur {a_0} de {a} (que l’on ne cherchera pas à calculer).
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Question 4
Déterminer un équivalent du reste {R_n=\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{\ln(k)}{2^{k+1}}}}.
Conclure sur la suite {u} lorsque {u_0=a_0}.
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