Vrai/Faux (suites numériques)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Suites numériques ». À chacune d’elles, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon!

On ne répond pas au hasard : on saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.

Si la suite réelle

{(x_n)_{n\ge0}}

converge vers

{\ell}

, alors

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}[x_n]=[\ell]}

Vrai? Faux?

C’est faux en toute généralité.
Mais c’est vrai si

{\ell\notin\mathbb{Z}}

car alors

{([x_n])_{n\ge0}}

devient stationnaire (donc converge) en

{[\ell]}

.
Si

{\ell\in\mathbb{Z}}

, alors

{([x_n])_{n\ge0}}

peut converger vers

{[\ell]=\ell}

(

{x_n=1/n}

) ou vers

{\ell\!-\!1}

(

{x_n=-1/n}

) ou même ne pas converger (

{x_n=(-1)^n/n}

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0}

(les

{u_n}

dans

{\mathbb{R}^*}

) alors

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{u_n}=-\infty}

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{u_n}=+\infty}

Vrai? Faux?

C’est faux : prendre

{u_n=(-1)^n/n}

.
Bien sûr, c’est ok si les

{x_n}

sont tous positifs (ou tous négatifs) au bout d’un certain temps.

De toute suite

{(x_n)_{n\ge0}}

{]a,b[}

on peut extraire une suite convergente dans

{]a,b[}

Vrai? Faux?

C’est faux. Si

{\displaystyle\lim_{\infty}x_n=\ell\in\{a,b\}}

, alors toutes les suites extraites convergent vers

{\ell\notin]a,b[}

.
Autre exemple :

{x_n=(-1)^n\Bigl(1-\dfrac{1}{n}\Bigr)}

. Ici les

{x_n}

sont dans

{]\!-\!1,1[}

mais les seules sous-suites convergentes ont pour limite

{1}

{-1}

.
Seule consolation : de toute suite

{(x_n)_{n\ge0}}

{]a,b[}

on peut extraire une suite convergente dans

{[a,b]}

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