Vrai/Faux (suites numériques)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Suites numériques ». À chacune d’elles, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon!

On ne répond pas au hasard : on saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.


Si la suite réelle {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {\ell}, alors {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}[x_n]=[\ell]}.
Vrai? Faux?
C’est faux en toute généralité.
Mais c’est vrai si {\ell\notin\mathbb{Z}} car alors {([x_n])_{n\ge0}} devient stationnaire (donc converge) en {[\ell]}.
Si {\ell\in\mathbb{Z}}, alors {([x_n])_{n\ge0}} peut converger vers {[\ell]=\ell} ({x_n=1/n}) ou vers {\ell\!-\!1} ({x_n=-1/n}) ou même ne pas converger ({x_n=(-1)^n/n}).

Si {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0} (les {u_n} dans {\mathbb{R}^*}) alors {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{u_n}=-\infty} ou {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{u_n}=+\infty}
Vrai? Faux?
C’est faux : prendre {u_n=(-1)^n/n}.
Bien sûr, c’est ok si les {x_n} sont tous positifs (ou tous négatifs) au bout d’un certain temps.

De toute suite {(x_n)_{n\ge0}} de {]a,b[} on peut extraire une suite convergente dans {]a,b[}.
Vrai? Faux?
C’est faux. Si {\displaystyle\lim_{\infty}x_n=\ell\in\{a,b\}}, alors toutes les suites extraites convergent vers {\ell\notin]a,b[}.
Autre exemple : {x_n=(-1)^n\Bigl(1-\dfrac{1}{n}\Bigr)}. Ici les {x_n} sont dans {]\!-\!1,1[} mais les seules sous-suites convergentes ont pour limite {1} ou {-1}.
Seule consolation : de toute suite {(x_n)_{n\ge0}} de {]a,b[} on peut extraire une suite convergente dans {[a,b]}.

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