Sommes de Riemann (3/3)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{f:[0,1]\to\mathbb{R}}

, continue. Montrer que

{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}}\,\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^kf\bigl(\dfrac kn\bigr)=0}

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Exercice 2.
Soient

{f,g}

deux fonctions continues sur

{[0,1]}

.
Montrer que

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac1n\, \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Big(\frac kn\Big)g\Big(\frac {k+1}n\Big)=\displaystyle\int_{0}^{1} fg}

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Exercice 3.
Calculer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n}

, avec

{S_n= \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{\sqrt{n^2+kn}}}

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Exercice 4.
Soit

{f\in\mathcal{C}^3([0,1],\mathbb{R})}

{n\in\mathbb{N}^*}

.
On note

{M_3=\displaystyle\sup_{[0,1]}\left|{f^{(3)}}\right|}

.
On pose

{S_n(f)=\dfrac{1}n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(\dfrac kn\Bigr)}

.
On définit de même

{S_n(f')}

{S_n(f'')}

Montrer la majoration :
${\Bigl|\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f\!-\!S_n(f)\!-\!\dfrac{S_n(f')}{2n}\!-\!\dfrac{S_n(f'')}{6n^2}\Bigr|\!\le\!\dfrac{M_3}{24n^3}}$
Prouver le développement asymptotique : ${\begin{array}{rl}\displaystyle\int_{0}^{1}f=&S_n(f)+\dfrac{f(1)\!-\!f(0)}{2n}\\[12pts]&\quad-\dfrac{f'(1)-f'(0)}{12n^2}+\text{O}\Bigl(\dfrac1{n^3}\Bigr)\end{array}}$

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