Suites lentement convergentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}

  1. Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
  2. Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.

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