Quiz (implications et équivalences)

Dans chacune des 10 questions suivantes, {A} et {B} désignent des propositions portant sur une suite {(u_n)} de nombres réels.
À chaque fois, on doit dire si {A\Rightarrow B}, ou {B\Rightarrow A}, ou {A\Leftrightarrow B} ou s’il n’y a aucun lien logique.

{A} : {(u_n)} est monotone (à partir d’un certain temps)
{B} : la suite {(u_n)} est convergente
Réponse
Il n’y a pas de rapport logique. Par exemple la suite {n\mapsto n} est monotone mais divergente.

Inversement, la suite {n\mapsto (-1)^n/n} converge (vers {0}), mais ne devient jamais monotone.

Soit {(u_n)} une suite positive.
{A} : {(u_n)} décroît (à partir d’un certain temps)
{B} : {(u_n)} est convergente
Réponse
On a {A\Rightarrow B} (si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente).

On n’a pas {B\Rightarrow A}. Considérons par exemple {u_n=1/n} si {n} est pair et {u_n=0} si {n} est impair.
Cette suite est positive, convergente (vers {0}), mais elle ne devient jamais décroissante.

{A} : {\forall\, n\in\mathbb{R},\;u_n\le u_{n+1}}
{B} : {\forall\, (n,m)\in\mathbb{N}^2,\;n\le m\Rightarrow u_n\le u_m}
Réponse
On a {A\Leftrightarrow B}. L’implication {B\Rightarrow A} est vraie (prendre le cas particulier {m=n+1}).

Ensuite, si {A} est vraie, {B} est vraie par une récurrence évidente sur l’entier {m} (avec {m\ge n+1}).

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