Récurrence vectorielle

(Oral Ccp)
On considère la relation {U_{n+1}=AU_{n}}, où : {U_{n}=\begin{pmatrix}u_{n}\\ v_{n}\\ w_{n}\\ x_{n}\end{pmatrix}\;\text{et}\;A=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1&1&1\\1&2&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&2\end{pmatrix}}

  1. La matrice {B=5A} est-elle diagonalisable?
    Déterminer son spectre et la dimension des espaces propres?
  2. Déterminer les suites {(a_n),(b_n)} telles que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;B^{n}=a_{n}B+b_{n}I_{4}}
  3. Étudier la convergence de la suite {(U_{n})}.

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