Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]

On munit {E\!=\!\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\!\mid\!{Q}\right)\!\!=\!\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!t^{2}PQ}

On pose également : {\forall P\in E,\;u(P)\!=\!X(1\!-\!X)P''\!+\!(3\!-\!4X)P'}

  1. Montrer que {\left({\cdot}\mid{\cdot}\right)} est un produit scalaire, et que {u} est dans \mathcal{L}(E).
  2. Montrer que {u} est un endomorphisme symétrique de {E}.
  3. Déterminer les valeurs propres de {u}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).