Spectre de sous-matrices principales

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Si {A} est une matrice carrée d’ordre {n\ge2}.

Si {1\le k\le n}, la {k}-ième « sous-matrice principale » de {A}, notée {A_{k}}, est obtenue en supprimant la {k}-ième ligne et la {k}-ième colonne de {A}.

Dans cet exercice, on désigne par {A} est une matrice symétrique réelle d’ordre {n\ge2}, et par {B=A_{k}} une sous-matrice principale de {A}.

On va montrer que si les valeurs propres de {B} sont simples, et avec une hypothèse supplémentaire, il en est de même de celles de {A}, et mieux encore les valeurs propres de {B} « séparent » celles de {A}.

Question 1
Montrer qu’on peut se limiter à {k=1}.
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On écrit donc {A=\begin{pmatrix}a&Y^{T}\cr Y&B\end{pmatrix}}, où {a} est un réel et {Y} un vecteur colonne de hauteur {n-1}.

On suppose que les valeurs propres de {B} sont de multiplicité 1, et on les note {\mu_{2}>\mu_{3}>\ldots>\mu_{n}}.

Soit {D=\text{diag}(\mu_{2},\mu_{3},\ldots,\mu_{n})}.

Soit {U\in\text{O}(n\!-\!1)} telle que {U^{-1}BU=D}.

Avec des notations évidentes, soit :{V=\begin{pmatrix}1&0\cr 0&U\end{pmatrix}\;\text{et}\;A'=V^{-1}AV=\begin{pmatrix}a&Z^{T}\cr Z&D\end{pmatrix}}On note {Z^{T}=(z_{2},z_{3},\ldots,z_{n})}.

Question 2
Interpréter « géométriquement » les {z_{i}}.
Que signifierait une égalité {z_{i}=0}?
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Dans la question 3, on émet l’hypothèse supplémentaire : (*) {\forall\, i\in\{2,\ldots,n\},\;z_{i}\ne0}.

Question 3
Évaluer le polynôme caractéristique de {A} en chacun des {\mu_{i}} et montrer que {A} possède {n} valeurs propres distinctes, qui sont séparées par celles de {B}.
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