Inverse d'une matrice définie positive

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

.
On dit que

{A}

est définie positive si

{\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\subset \mathbb{R}^{+\ast }}

Montrer que cela équivaut à : ${\forall X\in \mathbb{R}^{n}\backslash \{0\},\;X^{\top}AX>0}$
On suppose que ${A}$ est définie positive.
Montrer que ${A^{-1}}$ l’est aussi.
Montrer que, pour tout ${X\in \mathbb{R}^{n}}$ : ${\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}$

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