Inverse d’une matrice définie positive

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que {A} est définie positive si {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\subset \mathbb{R}^{+\ast }}.

  1. Montrer que cela équivaut à : {\forall X\in \mathbb{R}^{n}\backslash \{0\},\;X^{\top}AX>0}
  2. On suppose que {A} est définie positive.
    Montrer que {A^{-1}} l’est aussi.
    Montrer que, pour tout {X\in \mathbb{R}^{n}} : {\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}

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