Probabilités et diagonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit {X,Y} deux v.a.r. à valeurs dans {[[1,n\!+\!1]]}.
Leur loi conjointe est définie par : {\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}

  1. Déterminer la loi de {X}.
    Les variables {X,Y} sont elles indépendantes ?
  2. Diagonaliser la matrice {M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} de coefficients {m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}.

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