Probabilités et diagonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. à valeurs dans

{[[1,n\!+\!1]]}

.
Leur loi conjointe est définie par :

{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}

Déterminer la loi de ${X}$ .
Les variables ${X,Y}$ sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice ${M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}$ de coefficients ${m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}$ .

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