Décomposition polaire par minimisation

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} (resp. {\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})}) le sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} formé des matrices symétriques (resp. antisymétriques).

On note {\text{O}_{n}(\mathbb{R})} le groupe des matrices orthogonales d’ordre {n}, et {\text{SO}_{n}(\mathbb{R})} le sous-groupe de {\text{O}_{n}(\mathbb{R})} formé des matrices orthogonales de déterminant {1}.

On munit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de {\left(A\mid B\right) =\text{Tr}(^{t}\!A\, B)}, et on note {d} la distance associée.

Question 1.a
Montrer que {\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} et {\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})} sont supplémentaires orthogonaux dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
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Question 1.b
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Montrer que la distance de {A} à {\text{SO}_n(\mathbb{R})} est atteinte.
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On se donne {A} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Soit {R\in \text{SO}_n(\mathbb{R})} telle que : {d(A,\text{SO}_n(\mathbb{R}))=d(A,R)}

Question 2.a
Soit {M} quelconque dans {\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})}.
Soit {\varphi\colon x\in\mathbb{R}\mapsto \exp(xM)R}.
Montrer que l’application {\varphi} est à valeurs dans {\text{SO}_n(\mathbb{R})}. Quelle est sa dérivée ?
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Question 2.b
En étudiant {f(x)=d(A,\varphi(x))^2}, montrer que la matrice {S=R^{-1}A} est symétrique
On a donc démontré l’existence de {R\in \text{SO}_{n}(\mathbb{R})} et de {S\in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A=RS}.
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Question 3
Dans cette question seulement, on pose {n=2} et on considère la matrice {A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}}.
Donner {\begin{cases}R\in \text{SO}_2(\mathbb{R})\\S\in \mathcal{S}_{2}(\mathbb{R})\end{cases}} telles que {A=RS}.
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