Matrices symétriques congruentes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {\mathcal{S}_{n}\left( \mathbb{R}\right) } l’espace des matrices symétriques de {\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }, et {\mathcal{S}_{n}^{\ast +}\left( \mathbb{R}\right) } le sous-ensemble de {\mathcal{S}_{n}\left( \mathbb{R}\right) } formé des matrices symétriques définies-positives (c’est-à-dire à spectre inclus dans {\mathbb{R}^{+*}}).

On note {\left(E_{i,j}\right)_{1\le i,j\le n}} la base canonique de {\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }.

Pour {i\neq j} et {\lambda\in\mathbb{R}}, on pose {T_{i,j}(\lambda )=I_{n}+\lambda E_{i,j}}.

Question 1.a
Soit {A\in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}. Que dire des lignes et colonnes de {B=T_{i,j}(\lambda )A\,T_{j,i}(\lambda)?}
La matrice {B} est-elle symétrique?
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Question 1.b
On suppose que {A=\left( \max (i,j)\right)_{1\le i,j\le 5}}.
Montrer qu’il existe {P\in \text{GL}_{5}\left( \mathbb{R}\right) } telle que {D=\,^{t}\!P\,A\,P} soit diagonale à coefficients rationnels (préciser les éléments diagonaux).
La matrice {A} est-elle définie-positive?
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Question 2
Soit {A=\left( a_{i,j}\right) _{1\le i,j\le n}\in \mathcal{S}_{n}^{\ast +}\left( \mathbb{R}\right) }.
On note, pour {k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\; A_{k}=\left( a_{i,j}\right) _{1\le i,j\le k}}.
Démontrer que, pour {1\le k\le n} :{a_{k,k}>0\;\text{et}\;\det (A_{k})>0}
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Question 3
Réciproquement, soit {A\in \mathcal{S}_{n}\left( \mathbb{R}\right) } telle que :{\forall \ k\in\llbracket 1,n\rrbracket ,\;\det (A_{k})>0}Montrer qu’il existe {Q\in \text{GL}_{n}(\mathbb{R})} telle que : {{}^{t}QAQ=\text{diag}\left( \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha_{n}\right)}où les {\alpha _{i}>0}.
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Question 4
Montrer que {\mathcal{S}_{n}^{\ast +}\left( \mathbb{R}\right) } est ouvert dans {\mathcal{S}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }.
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