Isométries de l’espace

Exercice 1.
Dans {\mathbb{R}^3} euclidien orienté, soit {k=(a,b,c)} un vecteur unitaire. Déterminer la matrice {S}, dans la base canonique, de la réflexion {s} par rapport au plan {(\mathbb{R} k)^{\bot}}.
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Exercice 2.
Soit la matrice {A=\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 8&-1&-4\\-1&8&-4\\ -4&-4&-7\end{pmatrix}}.
Identifier l’endomorphisme {u} de matrice {A} dans la base canonique de {\mathbb{R}^3} euclidien orienté.
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Exercice 3.
Dans {\mathbb{R}^3} euclidien orienté, soit {k=(a,b,c)} un vecteur unitaire.
Soit {s} la réflexion par rapport au plan {(\mathbb{R} k)^{\bot}}.

  1. Si {f\in O(\mathbb{R}^3)}, identifier {g=fsf^{-1}}.
  2. Déterminer les isométries de {\mathbb{R}^{3}} qui commutent avec toutes les isométries de {\mathbb{R}^{3}}.

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Exercice 4.
On se place dans l’espace {\mathbb{R}^3} euclidien orienté.
On considère {A=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 6&3&-2\\ -2&6&3\\ 3&-2&6\end{pmatrix}}.
Identifier l’endomorphisme {f} canoniquement associé à {A}.
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Exercice 5.
Dans {\mathbb{R}^3} euclidien orienté, soit {k=(a,b,c)} un vecteur unitaire, et la matrice : {A=\begin{pmatrix} a^{2}&ab-c&ac+b\\ab+c&b^{2}&bc-a\\ ac-b&bc+a&c^{2}\end{pmatrix}}Montrer que {A} est orthogonale, et identifier l’isométrie {f} canoniquement associée.
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