Exercice (oral Centrale/Supélec)
On note {\mathcal{S}_{n}\left(E\right) } l’espace des endomorphismes symétriques d’un espace euclidien {E}.
À tous {u,v} dans {\mathcal{S}\left(E\right)}, on associe la fonction :{H_{u,v} :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ t\mapsto \max \text{Sp}\left(u+tv\right)}Pour {\begin{cases}u\in\mathcal{S}\left(E\right)\\x\in E\setminus\{0\}\end{cases}} on note {R_{u}(x)=\dfrac{\left( u(x)\mid x\right) }{\left\Vert x\right\Vert ^{2}}}.
On va étudier quelques propriétés de {H_{u,v}}.
| Question 1 Démontrer que {\displaystyle\sup_{x\in E-\{0\}}R_{u}(x)=\max \text{Sp}(u)}. |
| Question 2 Soient {u,v} dans {\mathcal{S}\left(E\right)}. Montrer que {H_{u,v}} est convexe. Est-elle continue? |
| Question 3 Que peut-on dire de {H_{u,v}} si {u} et {v} commutent? |