Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {N} fixé dans {\mathbb{N}}.
Pour {k\in\mathbb{N}}, on pose : {\displaystyle\varphi_k(X)=\dfrac1{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)}
Pour {n\in\llbracket 0,N\rrbracket}, soit :{P_n(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\varphi_k(X)\varphi_{n-k}(N-X)}Visiblement, {\deg(P_{n})\le n\le N}.
On munit {\mathbb{R}_{N}[X]} du produit scalaire : {(A\mid B)=\displaystyle\sum_{j=0}^{N}\dbinom{N}{j}P(j)Q(j)}L’objectif est de montrer que {(P_{0},\ldots,P_{N})} forment une base orthogonale de {\mathbb{R}_{N}[X]}.
| Question 1 On convient que {\displaystyle\dbinom{n}{k}=0\;} si {k>n}. Montrer que : {\forall\, (n,k)\in\mathbb{N}^{2},\varphi_{k}(n)=\displaystyle\dbinom{n}{k}}. |
| Question 2 Montrer que {f_{j}(u)=(1-u)^{j}(1+u)^{N-j}} |
| Question 3 En déduire : {F(u,v)=2^{N}(1+uv)^{N}}. |
| Question 4 Si {a\ne b}, montrer que {\displaystyle{\partial^{a+b}F \over \partial u^a\partial v^b}(0,0)=0}. Si {a=b}, montrer : {\displaystyle{\partial^{2a}F \over \partial u^a\partial v^a}(0,0)=2^{N}\dfrac{N!\,a!}{(N-a)!}}. |
| Question 5 Déduire de ce qui précède que {(P_{k})_{0\le k\le N}} est une base orthogonale de {\mathbb{R}_{N}[X]}. |