Espaces préhilbertiens

Exercices corrigés sur le thème « espaces préhilbertiens » pour Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Convergence faible

(Oral CCInp)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.

Une base orthonormale

Dans {E} préhilbertien réel, soit {(e_k)_{1\le k\le n}} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.

Un produit scalaire?

Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?