QCM (orthogonalité)
Un questionnaire sur le thème « Orthogonalité ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Espaces préhilbertiens
Produit scalaire et dérivées partielles
(Oral Centrale). Avec une méthode basée sur des dérivées partielles de fonctions génératrices, on étudie un produit scalaire discret sur {\mathbb{R}_n[X]}.
Conservation des distances et linéarité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f\colon E\to E} vérifiant {f(0)=0} et :{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}Montrer que {(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}
Montrer que {f} est linéaire.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f\colon E\to E} vérifiant {f(0)=0} et :{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}Montrer que {(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}
Montrer que {f} est linéaire.
Projection orthogonale dans Rn[X]
(Oral Mines-Ponts)
On munit {E=\mathbb{R}_{n}[X]} du produit scalaire {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}Soit {A\ne0} dans {E}. Pour tout {P\in E}, on note {f_{A}(P)} le reste de la division euclidienne de {P} par {A}.
Montrer que {f_{A}} est un endomorphisme de {E}. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?
On munit {E=\mathbb{R}_{n}[X]} du produit scalaire {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}Soit {A\ne0} dans {E}. Pour tout {P\in E}, on note {f_{A}(P)} le reste de la division euclidienne de {P} par {A}.
Montrer que {f_{A}} est un endomorphisme de {E}. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?
Convergence faible
(Oral CCInp)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
(AX|X) = 0 pour tout X
(Oral Mines-Ponts)
Préciser l’ensemble {E} des {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall\, X\in \mathbb{R}^n,\;X^{\top}AX=0}
Préciser l’ensemble {E} des {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall\, X\in \mathbb{R}^n,\;X^{\top}AX=0}
Orthogonal non supplémentaire
Oral Centrale
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
Projecteur et transposition
(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Polynômes orthogonaux
(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour {(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}On montre qu’ils sont scindés simples sur {\mathbb{R}}.
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour {(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}On montre qu’ils sont scindés simples sur {\mathbb{R}}.
Famille obtusangle
(Oral Centrale)
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
Un produit scalaire entre polynômes
(Oral Centrale Mp)
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Orthogonalité (2/2)
Exercices sur le thème « orthogonalité » (2/2)
Orthogonalité (1/2)
Exercices sur le thème « orthogonalité » (1/2)
Produit scalaire, norme, distance
Exercices sur le thème « Produit scalaire, norme, distance »
Forme linéaire et produit scalaire
On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Minimum d’une intégrale
Calculer le minimum de {I_{a,b}=\displaystyle\int_{0}^{1}(t\ln(t)-at-b)^2\,\text{d}t}, et pour quels {a,b}.
Une base orthonormale
Dans {E} préhilbertien réel, soit {(e_k)_{1\le k\le n}} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.
Une base orthonormale de ℝ[X]
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
Produit scalaire et linéarité
Soit {E} préhilbertien réel, et {f\colon E\rightarrow E} une application.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
Une condition d’orthogonalité
Soit u,v deux vecteurs de {E} préhilbertien réel.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
Un produit scalaire?
Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Inégalité et norme euclidienne
Soient x,y dans {E} préhilbertien réel.
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Chebyshev et produit scalaire
(Oral X-Cachan Psi)
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
Une approximation quadratique
(Oral Ccp)
On munit \mathbb{R}[X] du produit scalaire : {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
Pour {(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}, on pose : {f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Déterminer le minimum de f sur {\mathbb{R}^{n}}.
On munit \mathbb{R}[X] du produit scalaire : {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
Pour {(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}, on pose : {f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Déterminer le minimum de f sur {\mathbb{R}^{n}}.
Un orthogonal non supplémentaire
On munit {E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}Soit {\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\[3pts]G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}
Montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ } mais que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.
Montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ } mais que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.