Orthogonal non supplémentaire

Oral Centrale
On munit {\mathbb{R}[X]} du produit scalaire :{\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}On définit {\varphi\colon A\mapsto\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.

Soit {H} l’hyperplan noyau de {\varphi}.

Montrer que : {\forall\,A\in\mathbb{R}[X],\;A-\varphi(A)\in H}.

A-t’on l’égalité : {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?

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