Un produit scalaire entre polynômes

(Oral Centrale Mp)
Dans cet exercice, {n} est fixé dans {\mathbb{N}^*}.
Pour {0\le k\lt n}, on pose {\theta_{k}=\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\;\text{et}\;c_{k}=\cos\theta_{k}}On note J=[-1,1] et {E=\mathcal{C}(J,\mathbb{R})}.

Soit {F} le sous-espace de {E} des fonctions polynomiales de degré strictement inférieur à {n}.

On pose {T_{0}(x)=\dfrac1{\sqrt2}}.

Pour {m\in\mathbb{N}^*}, soit {T_{m}(x)=\cos(m\arccos x)}.

Pour {m\ge 1}, on admet que {T_{m}} est polynomiale de degré {m}, de coefficient dominant {2^{m-1}}, et que les racines de {T_{n}} sont les {c_{k}} ({0\le k\lt n}).

Pour tous {f,g} de {E}, on note :
{\left(f\!\mid\! g\right)\!=\!\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k}),\,N(f)\!=\!\sqrt{\left(f\!\mid\! f\right)}}

  1. Pour {m\in\mathbb{Z}}, soit {S(m)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos(m\theta_{k})}.

    Montrer que : {S_{m}=\begin{cases}(-1)^kn\text{\ si\ }m=2kn,\; k\in\mathbb{Z}\cr 0\text{\ sinon\ }\end{cases}}

  2. L’application {(f,g)\mapsto\,\left(f\mid g\right)} est-elle un produit scalaire sur {E}? et sur {F}?

    Montrer que {(T_{m})_{0\le m\lt n}} est alors une base orthonormée de {F}.

  3. Pour {f\in E}, soit : {P(f)=\displaystyle\sum_{m=0}^{n-1}\left(f\mid T_{m}\right)T_{m}}.

    Montrer que : {\forall Q\in F,\;\left(f\!-\!P(f)\!\mid Q\!\right)\!=\!0}.

    Prouver que, pour tout {Q\in F} : {N(f\!-\!Q)^2\!=\!N(f\!-\!P(f))^2\!+\!N(P(f)\!-\!Q)^2}

    En déduire que {P(f)} est l’unique élément de {F} tel que :
    {\forall k\in[[0,n-1]],\;P(f)(c_{k})=f(c_{k})}

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