Orthogonalité (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {E} un espace préhilbertien sur {\mathbb{R}}.
On suppose qu’il existe {e_1,\ldots,e_n} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}

  1. Montrer que les vecteurs {e_k} sont orthogonaux deux à deux.
  2. Montrer que ces vecteurs forment une base orthonormée de {E}.

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Exercice 2.
Soit {E} un espace préhilbertien réel. Soient {u,v} dans {E}.
On suppose que, pour tout {\lambda} de {\mathbb{R}}, {\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {u} et {v} sont orthogonaux.
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Exercice 3.
Soit {E} un espace vectoriel euclidien. Soit {f} un endomorphisme de {E} qui « conserve l’orthogonalité », c’est-à-dire tel que : {\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}Montrer que : {\exists\lambda\ge0,\;\forall u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}
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