| Exercice 1. Soit {E} un espace préhilbertien sur {\mathbb{R}}. On suppose qu’il existe {e_1,\ldots,e_n} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
|
| Exercice 2. Soit {E} un espace préhilbertien réel. Soient {u,v} dans {E}. On suppose que, pour tout {\lambda} de {\mathbb{R}}, {\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}. Montrer que {u} et {v} sont orthogonaux. |
| Exercice 3. Soit {E} un espace vectoriel euclidien. Soit {f} un endomorphisme de {E} qui “conserve l’orthogonalité”, c’est-à-dire tel que : {\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}Montrer que : {\exists\lambda\ge0,\;\forall u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|} |
Voir aussi :
- Inégalité entre trace et rang
- Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
- Morphismes pour le produit vectoriel
- Une condition d’antisymétrie
- Matrices de trace nulle (bis!)
- Deux isométries de l’espace
- Moyenne des itérées d’une isométrie
- Minimum d’une intégrale
- Polynômes orthogonaux
- Une base orthonormale de ℝ[X]