Orthogonalité (1/2)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{E}

un espace préhilbertien sur

{\mathbb{R}}

.
On suppose qu’il existe

{e_1,\ldots,e_n}

unitaires tels que :

{\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}

Montrer que les vecteurs ${e_k}$ sont orthogonaux deux à deux.
Montrer que ces vecteurs forment une base orthonormée de ${E}$ .

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Exercice 2.
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel. Soient

{u,v}

dans

{E}

.
On suppose que, pour tout

{\lambda}

{\mathbb{R}}

{\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}

.
Montrer que

{u}

{v}

sont orthogonaux.

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Exercice 3.
Soit

{E}

un espace vectoriel euclidien. Soit

{f}

un endomorphisme de

{E}

qui « conserve l’orthogonalité », c’est-à-dire tel que :

{\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}

Montrer que :

{\exists\lambda\ge0,\;\forall u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}

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