Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {E} préhilbertien réel, et {f:E\rightarrow E} telle que : {\forall\, (x,y),\;\left(f(x)\mid y\right)=\left(x\mid f(y)\right)}Montrer que {f} est linéaire. |
| Exercice 2. Soit {E} un espace préhilbertien réel. Soit {f} une application telle que {f(0)=0} et : {(\star)\;\forall x,y\in E,\;\left\|{f(x)-f(y)}\right\|=\left\|{x-y}\right\|}Montrer que {f} conserve le produit scalaire. En déduire que {f} est linéaire. |
| Exercice 3. Soit {E} un espace préhilbertien réel. Montrer que, pour tous {x,y} dans {E} : {2+\left\|x+y\right\|^2\le2(1+\left\|x\right\|^2)(1+\left\|y\right\|^2)} |
| Exercice 4. On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}. Soit {\varphi:E\to\mathbb{R}} la forme linéaire définie par {\varphi(P)=P(0)}. Montrer qu’il n’existe pas de {A\in E} tel que : {\forall P\in E,\;\varphi(P)=\,\left({A}\mid{P}\right)}. |