Produit scalaire, norme, distance

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {E} préhilbertien réel, et {f:E\rightarrow E} telle que : {\forall\, (x,y),\;\left(f(x)\mid y\right)=\left(x\mid f(y)\right)}Montrer que {f} est linéaire.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Exercice 2.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f} une application telle que {f(0)=0} et : {(\star)\;\forall x,y\in E,\;\left\|{f(x)-f(y)}\right\|=\left\|{x-y}\right\|}Montrer que {f} conserve le produit scalaire.
En déduire que {f} est linéaire.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Exercice 3.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Montrer que, pour tous {x,y} dans {E} : {2+\left\|x+y\right\|^2\le2(1+\left\|x\right\|^2)(1+\left\|y\right\|^2)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Exercice 4.
On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Soit {\varphi:E\to\mathbb{R}} la forme linéaire définie par {\varphi(P)=P(0)}.
Montrer qu’il n’existe pas de {A\in E} tel que : {\forall P\in E,\;\varphi(P)=\,\left({A}\mid{P}\right)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).