Espaces préhilbertiens
Exercices corrigés sur le thème « espaces préhilbertiens » pour Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Un produit scalaire?

Soit

{a}

unitaire dans

{E}

préhilbertien réel.
Soit

\varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R}

définie par :

{\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}

Pour quels

{\lambda\in\mathbb{R}}

l’application

\varphi_a

est-elle un produit scalaire?

Soient

x,y

dans

{E}

préhilbertien réel.
Montrer que :

{2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}

(Oral X-Cachan Psi)
On munit

{{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}

On définit les

{U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}

.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin

{f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}

par un polynôme de degré

{\le 2}

(Oral Ccp)
On munit

\mathbb{R}[X]

du produit scalaire :

{\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

Calculer

{\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)}

pour

{(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}

Pour

{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}

, on pose :

{f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

Déterminer le minimum de

f

sur

{\mathbb{R}^{n}}

On munit

{E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}

Soit

{\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\[3pts]G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}

Montrer que

{\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ }

mais que

F

G

ne sont pas supplémentaires dans

E