Chebyshev et produit scalaire

(Oral X-Cachan Psi)
Pour

{n\in\mathbb{N}}

{x\in\,]-1,1[}

, on pose :

{U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}

Montrer que : ${U_{n}(x) = 2xU_{n-1}(x) -U_{n-2}(x)\quad(\star)}$ Montrer que ${U_{n}}$ est polynomial de degré ${n}$ .
Dans ${{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}$ , on pose : ${\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}$ On munit ${{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}$ de ce produit scalaire, et de la norme associée ${\left\|\cdot\right\|}$ .
Montrer que : ${\forall\, (n,m)\in\mathbb{N},\;m\ne n\Rightarrow\left(U_{n}\mid U_{m}\right)= 0}$
On définit ${f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}$ . Donner sa meilleure approximation (pour ${\left\|\cdot\right\|}$ ) par un polynôme de degré ${\le 2}$ .

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