Conservation des distances et linéarité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{f\colon E\to E}

vérifiant

{f(0)=0}

et :

{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}

Montrer que : ${\forall\,x\in E,\;\|f(x)\|=\|x\|}$ .
Montrer que : ${\forall\,x\in E,\;f(-x)=-f(x)}$ .
Montrer que, pour tous ${x,y}$ dans ${E}$ : ${(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}$
Montrer que ${f}$ est linéaire.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres
ou consulter le plan du site