Conservation des distances et linéarité

(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f\colon E\to E} vérifiant {f(0)=0} et :{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}

  1. Montrer que : {\forall\,x\in E,\;\|f(x)\|=\|x\|}.
  2. Montrer que : {\forall\,x\in E,\;f(-x)=-f(x)}.
  3. Montrer que, pour tous {x,y} dans {E} : {(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}
  4. Montrer que {f} est linéaire.

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