Convergence faible

(Oral CCInp)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite

{(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}}

de vecteurs de

{E}

converge faiblement vers

{x\in E}

si :

{\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}

On suppose que ${E}$ est de dimension finie.
Montrer que ${(x_{n})}$ converge faiblement vers ${x}$ si et seulement si ${\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}$ .
Montrer que cette équivalence est fausse en dimension infinie.

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