| Exercice 1. Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n+1}{2^{n}}} avec un produit de Cauchy. |
| Exercice 2. On sait que {\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}} converge. Mais elle n’est pas absolument convergente. Montrer que le produit de Cauchy de cette série par elle-même conduit à une série divergente. |
| Exercice 3. Par produit de Cauchy, calculer les sommes : {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}nz^{n}\;\text{et}\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2}z^{n}} |
| Exercice 4. Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n\ge1}H_{n}x^{n}} où {H_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}} |
| Exercice 5. Pour {(p,z)\in\mathbb{N}\times\mathbb{C}} avec {\left|{z}\right|\lt 1}, montrer : {\dfrac{1}{(1-z)^{p+1}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dbinom{p+n}{p}z^{n}} |
| Exercice 6. {\exp(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{n!}} est la définition de la fonction exponentielle complexe. Montrer : {\forall(a,b)\in\mathbb{C}^2,\;\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)} |