La suite de Perrin

(Oral Centrale Mp)
On pose {u_0=3}, {u_1=0}, {u_2=2}, et : {\forall\, n\ge3,\;u_n=u_{n-2}+u_{n-3}}L’objectif de l’exercice est de montrer la propriété {\mathcal{P}} : tout entier premier {p} divise {u_p}.

Soit {r_1,r_2,r_3} les racines de {P=X^3-X-1}.

Soit la série entière {f(t)=\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n\,t^n}.

  1. Montrer que :{\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_n=r_1^n+r_2^n+r_3^n}Préciser le rayon de convergence {R} de {f(t)}.
  2. Pour {-R\lt t\lt R}, calculer {f(t)} sous forme de fraction rationnelle.
  3. On pose {t\mapsto\varphi(t)=-\ln(1-t^2-t^3)}.

    Justifier le développement {\varphi(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}v_nt^n}.

    Relier {u_n} et {v_n}, pour {n\ge 1}.

  4. Soit {p} un entier premier. Montrer que {v_p} est un rationnel donc le dénominateur (dans la forme simplifiée de {v_p}) est premier avec {p}. En déduire que {u_p} est divisible par {p}.

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