Développements en série entière

Exercice 1.
Développer en série entière {\text{e}^{-x}\sin(x)}.
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Exercice 2.
Développer en série entière {\ln(6\!-\!5x\!+\!x^{2})}.
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Exercice 3.
Développer {(1+x)^{\alpha}} en série entière, avec la méthode de l’équation différentielle.
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Exercice 4.
On pose {f(x)=\dfrac{x\,\text{sh}\,\alpha}{x^{2}-2x\,\text{ch}\,\alpha+1}}
Développer {f} en série entière.
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Exercice 5.
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{-\infty }^{x}\dfrac{dt}{1+t+t^{2}}}.
Décomposer {F} en série entière.
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Exercice 6.
On pose {f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{4}+\dfrac{3\mathrm{e}^{-x}}{4}+\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{2}}
Montrer que est développable en série entière sur {\mathbb{R}}.
On note {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}}.
Montrer que : {\forall\, n\ge2,\;a_{n} \neq 0\;\text{et}\;\dfrac{1}{a_{n}} \in\mathbb{N}}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.