Série entière (très) lacunaire

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n}

{g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} b_nx^n}

On suppose

{R_g=1}

et que

{\displaystyle\sum b_n}

diverge
On suppose

{b_n\ge0}

, et que

{a_n\sim b_n}

Montrer que ${f(x)\sim g(x)}$ quand ${x\to1}$ .
On pose dorénavant ${f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2^n}}$ .
Préciser le rayon ${R_f}$ de ${f(x)}$ .
Montrer que ${\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=+\infty}$ .
Donner un équivalent de ${f}$ en ${1}$ .

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