Série entière (très) lacunaire

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} b_nx^n}
On suppose {R_g=1} et que {\displaystyle\sum b_n} diverge
On suppose {b_n\ge0}, et que {a_n\sim b_n}.

  1. Montrer que {f(x)\sim g(x)} quand {x\to1}.
  2. On pose dorénavant {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2^n}}.
    Préciser le rayon {R_f} de {f(x)}.
  3. Montrer que {\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=+\infty}.
    Donner un équivalent de {f} en {1}.

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