Nombres de Bell - Mathprepa

(Oral Centrale 2018)
On pose

{u_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}

Programmer le calcul de ${n!}$ et de ${u_{n}}$ .
Afficher les résultats pour ${n\leq 15}$ .
Proposer une conjecture, puis la démontrer.
On pose ${u_{n,k}=\dfrac{k^{n}}{k!}}$ .
Justifier l’existence de ${S_n=\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}u_{n,k}}$ .
Programmer le calcul approché de ${\dfrac{1}{\text{e}}S_{n}}$ .
Quelle conjecture peut-on faire ?
Montrer que : ${\forall\,n\in\mathbb{N},\;S_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}S_{k}}$ .
Calculer ${S_{0}}$ et prouver la conjecture de (2).
Montrer que ${f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}$ a un rayon de convergence non nul.
Donner une équation différentielle vérifiée par ${f}$ puis calculer ${f}$ .

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