Un développement en série entière

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{P=X^k -\displaystyle\sum_{j=1}^{k}a_jX^{k-j}\in\R_k[X]}

.
Soit

{\alpha_1,\cdots ,\alpha_k}

les racines complexes de

P

, supposées non nulles et distinctes.
On pose

{c_0=1}

et, pour tout

{n\ge1}

{c_{-n}=0\;\text{et}\;c_n=\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i c_{n-i}}

On admet, dans 1), 2) 3), que la série entière

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}c_n x^n}

a un rayon

{R>0}

Montrer que : ${f(x)=\dfrac{1}{(1-\alpha_1x)(1-\alpha_2x)\cdots (1-\alpha_k x)}}$
Déterminer ${(b_1,\cdots ,b_k)\in\mathbb{C}^k}$ tels que : ${f(x)=\dfrac{b_1}{1-\alpha_1x}+\cdots +\dfrac{b_k}{1-\alpha_k x}}$
Montrer que, pour tout ${n\in\mathbb{N}^*}$ : ${c_n=\displaystyle\sum_{i=1}^k \dfrac{{\alpha_i}^{k-1}}{\prod_{j\ne i}(\alpha_i -\alpha_j)}\;\alpha_i^n}$ Déterminer ${R}$ .

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