| (Oral Centrale) Soit {a_n} le coeff. de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}. En particulier {a_0=a_1=1}. Montrer que {f\!=\!\!\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} a un rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}. On admet la relation : {\forall n\ge 2,\,na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}} (voir l’article « Coefficient trinomial central ») Déterminer {R} et exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles. |