Pour {n\ge1}, on pose {\sigma(n)=\sum\limits_{d\mid n}d}, puis {F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n,\quad G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{1-x^n}}Les questions [P] utilisent Python.
1. Déterminer les domaines de définition de {F} et {G}.
2. Montrer que ces fonctions sont de classe {C^1} sur leur domaine.
3. (a) [P] Écrire
sig(n) calculant {\sigma(n)} et seqs(n) renvoyant {[\sigma(1),\ldots,\sigma(n)]}. Vérifier pour {n=9}.3. (b) [P] Écrire
sumF(n,x) et sumG(n,x) calculant {F_n(x)=\sum_{k=1}^n\sigma(k)x^k,\quad G_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{kx^k}{1-x^k}}3. (c) [P] Tracer sur une même figure {F_{10},G_{10}} sur {]-1,1[} avec 200 points. Recommencer pour {F_{100},G_{100}}.
4. Montrer que {F(x)=G(x)} sur {]-1,1[}.
5. Posons {\psi(x)=xe^{-x}/(1-e^{-x})}. Déterminer un équivalent de {\sum\limits_{n=1}^{\infty}\psi(nh)} lorsque {h\to0^+}.
6. En déduire un équivalent de {F} en {1^-}.