Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {(F_n)_{n \geq 1}} la suite définie par {\begin{cases}
F_1=1\\F_2=2\end{cases}} et : {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}On pose {P_0=1} et, pour tout {n\ge1} : {\begin{array}{rl}P_n(X)&=(1\!-\!X)(1\!-\!X^2)(1\!-\!X^3) \cdots (1\!-\!X^{F_n})\\[6pt]&=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-X^{F_k})\end{array}}On identifiera polynôme et fonction polynomiale.
| Question 1.a Calculer {P_1,P_2,P_3,P_4}. Que peut-on conjecturer sur les coefficients de {P_{n}}? |
| Question 1.b Montrer que ces coefficients de {P_n} sont inférieurs en valeur absolue à {2^n}. |
| Question 1.c Établir que {X^{n+1}} divise {P_{n+1}-P_n}. |
| Question 2 Montrer que la suite {(P_n)} converge uniformément vers une fonction {f} sur tout segment de {]\!-\!1,1[}. |
| Question 3 On note {a_n} le coefficient de {X^n} dans {P_n}. Montrer que : {\forall\, x \in \Big]\!-\!\dfrac 12, \dfrac 12\Big[,\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n}. |
| Question 4 Comment améliorer ce résultat si la conjecture de la question {1a} est vraie? |