Série entière et suite de Fibonacci

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {(F_n)_{n \geq 1}} la suite définie par {\begin{cases} F_1=1\\F_2=2\end{cases}} et : {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}On pose {P_0=1} et, pour tout {n\ge1} : {\begin{array}{rl}P_n(X)&=(1\!-\!X)(1\!-\!X^2)(1\!-\!X^3) \cdots (1\!-\!X^{F_n})\\[6pt]&=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-X^{F_k})\end{array}}On identifiera polynôme et fonction polynomiale.

Question 1.a
Calculer {P_1,P_2,P_3,P_4}. Que peut-on conjecturer sur les coefficients de {P_{n}}?
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Question 1.b
Montrer que ces coefficients de {P_n} sont inférieurs en valeur absolue à {2^n}.
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Question 1.c
Établir que {X^{n+1}} divise {P_{n+1}-P_n}.
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Question 2
Montrer que la suite {(P_n)} converge uniformément vers une fonction {f} sur tout segment de {]\!-\!1,1[}.
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Question 3
On note {a_n} le coefficient de {X^n} dans {P_n}.
Montrer que : {\forall\, x \in \Big]\!-\!\dfrac 12, \dfrac 12\Big[,\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n}.
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Question 4
Comment améliorer ce résultat si la conjecture de la question {1a} est vraie?
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