Exercice (oral Centrale/Supélec)
On pose : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;J_n=\displaystyle{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\! x^{2n} e^{-x^4}\,\text{d}x}}.
On définit {f(t)=\displaystyle{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-x^4} \cos(xt)\,\text{d}x}}.
| Question 1.a Sans chercher à calculer {J_n}, montrer que : {\forall\, n\in \llbracket 0,3\rrbracket,\;J_{n}\lt \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{4\text{e}}}Indication : séparer l’intégrale {J_{n}} en {\displaystyle\int_{0}^{1}+\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!}. |
| Question 1.b Trouver une relation de récurrence entre les {(J_n)} et en déduire : {\forall\, n \in \mathbb{N}^{*}, \; J_n \leq n!} |
| Question 2 Montrer que {f} est développable en série entière, de rayon de convergence infini. |
| Question 3.a Calculer {f^{(n)}} pour tout entier {n}. Vérifier que : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;f^{(3)}(t)= \dfrac 14 t f(t)}. |
| Question 3.b En déduire que : {\forall\,(n,k)\in\mathbb{N}^2,\;f^{(n)}(t)\stackrel{+\infty}{=}\text{O} \Big( \dfrac 1{t^k}\Big)}. |
| Question 3.c Montrer que {f} s’annule une infinité de fois. |