Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On pose : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;J_n=\displaystyle{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\! x^{2n} e^{-x^4}\,\text{d}x}}.

On définit {f(t)=\displaystyle{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-x^4} \cos(xt)\,\text{d}x}}.

Question 1.a
Sans chercher à calculer {J_n}, montrer que : {\forall\, n\in \llbracket 0,3\rrbracket,\;J_{n}\lt \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{4\text{e}}}Indication : séparer l’intégrale {J_{n}} en {\displaystyle\int_{0}^{1}+\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!}.
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Question 1.b
Trouver une relation de récurrence entre les {(J_n)} et en déduire : {\forall\, n \in \mathbb{N}^{*}, \; J_n \leq n!}
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Question 2
Montrer que {f} est développable en série entière, de rayon de convergence infini.
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Question 3.a
Calculer {f^{(n)}} pour tout entier {n}.
Vérifier que : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;f^{(3)}(t)= \dfrac 14 t f(t)}.
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Question 3.b
En déduire que : {\forall\,(n,k)\in\mathbb{N}^2,\;f^{(n)}(t)\stackrel{+\infty}{=}\text{O} \Big( \dfrac 1{t^k}\Big)}.
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Question 3.c
Montrer que {f} s’annule une infinité de fois.
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