Autour des polynômes de Bernoulli

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {E=C^{0}\left( [0,1] ,\mathbb{R}\right) } muni de la norme :{f\mapsto \left\Vert f\right\Vert_{\infty }=\sup\limits_{x\in [0,1] }\left\vert f(x)\right\vert }Pour tout {f\in E}, on note {\Phi(f)} la primitive de {f} dont l’intégrale est nulle sur {[0,1]}.

Question 1
Soit {f\in E}, et {F=\Phi (f)}.
Soit {G} la primitive de {F} qui s’annule en {0}.
Exprimer {G(0)} et {G(1)} en fonction de {G(x)} à} l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral.
En déduire une expression de {F(x)} en fonction de {f}.
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Question 2
Montrer que pour tout {f\in E} : {\left\vert\Phi(f)(x)\right\vert \leqslant \dfrac{x^{2}+(1-x)^{2}}{2}\left\Vert f\right\Vert_{\infty }}En déduire que {\Phi} est continu et calculer sa norme subordonnée {\left\vert \left\vert \left\vert \Phi \right\vert \right\vert \right\vert }.
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Soit {\left( P_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}} la suite de {E} définie par :{P_{0}=1\;\text{et}\;\forall \ n\in \mathbf{N,\ }P_{n+1}=\Phi(P_{n})}

Question 3
Quelle est la nature des fonctions ainsi définies?
Calculer : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{P_{n+1-k}}{k!}=\dfrac{X^{n}}{n!}}.
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Question 4
Montrer que (si {x\in [0,1]}) la série entière {\displaystyle\sum P_{n}(x)t^{n}} a un rayon {R\ge 2}.
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Question 5
Pour {x\in [0,1]}, on définit la fonction : {f_{x} :t\mapsto\begin{cases}\dfrac{te^{tx}}{e^{t}-1}\;\text{si}\;t\neq 0 \\[6pt]1\;\text{si}\;t=0\end{cases}}Montrer que {f_x} est développable en série entière.
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Question 6
Montrer que, pour tout {k\in\mathbb{N}^*} et pour tout réel {x} :{P_{k}(x+1)-P_{k}(x)=\dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}}Montrer de même :{\forall\,k\in\mathbb{N}^*,\;\forall\,x\in\mathbb{R},\;P_{k}(1-x)=(-1)^{k}P_{k}(x)}
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