Séries entières et sommes harmoniques

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On pose {H_{0}=0\text{ \ et : \ }\forall \ n\in \mathbb{N}^{*},\ H_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}.

On note {Q_{0}=1} et : {\forall \ k\in \mathbb{N}^{*},\ Q_{k}=X(X-1)\cdots(X-k+1)}

Question 1
Soit {P\ne0\in \mathbb{R}[X]}.
Quel est le rayon {R} de {\displaystyle\sum_{n\ge0} P(n)H_{n}x^{n}?}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).


On pose : {\forall\,x\in\left]-R,R\right[,\;S\left(P,x\right)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P(n)H_{n}x^{n}}

Question 2
Montrer que {f(x)\mapsto -\dfrac{\ln (1-x)}{1-x}} est développable en série entière sur {\left]-1,1\right[}.
Écrire les coefficients du développement avec les {H_{n}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).
Question 3.a
Donner une expression de {f^{\left(k\right)}}, pour {k\in\mathbb{N}^*}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).
Question 3.b
En déduire une expression de {S\left(Q_{k},x\right)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).
Question 4
Déduire de ce qui précède une méthode de calcul de {S\left(P,x\right) }, pour tout {P\in \mathbb{R}[X] -\{0\}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).