Exercice (oral Centrale/Supélec)
On pose {H_{0}=0\text{ \ et : \ }\forall \ n\in \mathbb{N}^{*},\ H_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}.
On note {Q_{0}=1} et : {\forall \ k\in \mathbb{N}^{*},\ Q_{k}=X(X-1)\cdots(X-k+1)}
| Question 1 Soit {P\ne0\in \mathbb{R}[X]}. Quel est le rayon {R} de {\displaystyle\sum_{n\ge0} P(n)H_{n}x^{n}?} |
On pose : {\forall\,x\in\left]-R,R\right[,\;S\left(P,x\right)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}P(n)H_{n}x^{n}}
| Question 2 Montrer que {f(x)\mapsto -\dfrac{\ln (1-x)}{1-x}} est développable en série entière sur {\left]-1,1\right[}. Écrire les coefficients du développement avec les {H_{n}}. |
| Question 3.a Donner une expression de {f^{\left(k\right)}}, pour {k\in\mathbb{N}^*}. |
| Question 3.b En déduire une expression de {S\left(Q_{k},x\right)}. |
| Question 4 Déduire de ce qui précède une méthode de calcul de {S\left(P,x\right) }, pour tout {P\in \mathbb{R}[X] -\{0\}}. |