Série entière à la Wallis

(Oral Mines-Ponts)
Pour tout {n\ge\mathbb{N}}, on pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \!\!\!\cos^{n}t\,\text{d}t}.
Étudier la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}.
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