Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)

  1. Montrer que {f(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x} vérifie {(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}
  2. Solutions de {(E)} développables en série entière ?
  3. En déduire {\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x} pour tout {n\in \mathbb{N}}.

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