Série entière des ln(n)x^n

(Oral Mines-Ponts)
On pose {H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}.

Soit {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}

  1. Donner le rayon de {f} et {g}, puis calculer {f(x)}.
  2. Montrer que {f(x) \sim g(x)} quand {x \rightarrow 1}.
  3. Trouver {\displaystyle\lim_{-1}g(x)} (considérer {(1-x)g(x)}).

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