Série des inverses des nombres de Catalan

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on définit {c_{n}=\dfrac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}}
On dit que {c_{n}} est le {n}-ème nombre de Catalan.

On définit également la série entière réelle : {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{c_{n}}}, de rayon de convergence {R}.

Question 1
Simplifier {\rho_{n}=\dfrac{c_{n+1}}{c_{n}}} et en déduire {R}.
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Question 2
En utilisant la valeur de {\rho_{n}}, montrer que {f} satisfait sur {]\!-\!R,R\,[} à l’équation différentielle : {\quad(E) :\; x(x-4)y'(x)+2(x+1)y(x)=2}
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On admet que la solution générale de {(E)} sur {]0,4[} est {\begin{array}{l}y_{\lambda}(x)=\dfrac{2}{(4\!-\!x)^2}\biggl(\!8\!+\!x\!-12\sqrt{\!\dfrac{x}{4\!-\!x}}\text{atan}\sqrt{\dfrac{4\!-\!x}{x}}\biggr)\\\\\qquad\quad+\dfrac{\lambda\sqrt{x}}{(4-x)^{5/2}}\;\text{avec}\;\lambda\in\mathbb{R}\end{array}}On admet également que :{y_{\lambda}(x)=1+\dfrac{\lambda-12\pi}{32}\,\sqrt{x}+\text{o}\bigl(\sqrt{x}\bigr)}au voisinage de {x=0}.

Question 3
En déduire l’expression de {f(x)} sur {]0,R[}, et préciser la valeur de {f(1)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{c_{n}}}.
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Question 4
Pour terminer, calculer la somme {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{c_{n}}}.
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