Série des f(n) avec hypothèse sur f’

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f:\mathbb{R}^{+\ast}\to\mathbb{C}}, de classe {\mathcal{C}^{1}}.

  1. Montrer que pour tout {n\in \mathbb{N}^{\ast }} :{\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!f(t)\,\text{d}t=f(n)\!+\!\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!(n\!+\!1\!-t)f'(t)\text{d}t}
  2. On suppose que {f'} est intégrable sur {[1,+\infty]}.
    Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t}.
  3. Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.

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