Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
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