Série et transformation d’Abel

(Oral Mines-Ponts)
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite positive décroissante.

On suppose que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} converge.
On pose {v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}.

Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} converge.
Exprimer sa somme en fonction de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}.

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